พิจารณา กรณี y = 0 {\displaystyle y=0} จะได้ว่าอสมการข้างต้นเป็นจริง ซึ่งเป็นกรณีไม่สำคัญ

พิจารณา กรณี y ≠ 0 {\displaystyle y\neq 0} ถ้า a {\displaystyle a} เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จากอสมการจะได้ว่า 0 ≤ ⟨ x − a y , x − a y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ − a ⟨ y , x ⟩ − a ¯ ⟨ x , x ⟩ + | a | 2 ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle 0\leq \langle x-ay,x-ay\rangle =\langle x,x\rangle -a\langle y,x\rangle -{\bar {a}}\langle x,x\rangle +|a|^{2}\langle y,y\rangle }

พบว่าถ้าแทน a {\displaystyle a} ด้วย a = ⟨ x , y ⟩ ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle a={\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}} แล้ว อสมการโคชี-ชวาร์ซ เป็นจริง